Когерентные меры риска



Когерентные меры риска.

Понятие когерентных мер риска было введено сравнительно недавно [HEAD]. Обозначим через X случайную величину, выражающую размер возможных потерь к некоторому моменту T в будущем. Когерентной в указанной работе была названа мера риска r , обладающая следующими четырьмя свойствами :

  • r(X) = r(max(X,0)) ;
  • r(X + Y) £ r (X) + r(Y);
  • для всякого положительного числа l   r (l X) = lr(X);
  • для всякого положительного X  и числа A > 0 r (A+ X) = A + r(X).

Эти условия являются естественными требованиями, которые следует предъявлять к мере риска.

Действительно, если интерпретировать меру риска, как величину капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то первое условие означает, что мера риска прежде всего должна оценивать возможные потери ( X – величина потерь, соотетственно отрицательные значения X соответствуют доходу).

Субаддитивность также кажется разумным условием. Например если в фирме есть два трейдера и меры риска их сегодняшних позиций равны r(X) и r(Y), трудно было бы понять почему под общий риск фирмы следует резервировать больше чем r (X) + r(Y).

Можно привести следующий пример, иллюстрирующий третье условие. Если у нас есть два одинаковых портфеля, то их потери X будут одинаковы, и капитал, резервируемый под каждый из них, также одинаков и равен r (X), а под суммарный портфель - 2r(X). Значит r(2X) = 2r (X).

Четвертое условие означает, что увеличение наших возможных потерь на заранее известную величину A должно приводить к увеличению резервируемого капитала на ту же величину.

В работе [HEAD] дано замечательное представление когерентных мер. Оказывается, что мера риска является когерентной, если ее можно представить в виде супремума математических ожиданий возможных потерь по некоторому семейству вероятностных мер

r(X) = sup{EP[r(X)] ï PÎW}.

Меры P можно рассматривать как сценарии развития событий на рынке, а W - как набор возможных сценариев. При такой интерпретации когерентные меры оценивают средние потери при наихудшем развитии событий.

VAR не является когерентной мерой, а Shortfall является при некоторых дополнительных (довольно слабых) ограничениях на распределение возможных потерь.



ЛИТЕРАТУРА.

[HEAD] P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D.Heath. Definition of Coherent Measures of Risk, 1997, Symposium on Risk Management at the European Finance Association 24th Annual Meeting, Viena, Austria.